SEMANA VII

DISEÑO DE  CURVA HORIZONTAL DE TRANSICIÓN

Movimiento en una curva horizontal

Cuando un vehículo se desplaza por una recta sus ocupantes sólo perciben la sensación de movimiento hacia adelante, producida por la fuerza de impulsión del motor, y, ocasionalmente, la aceleración o deceleración provocada por las maniobras de otros vehículos o por subidas o bajadas en el recorrido. De cualquier manera, el movimiento conserva una única dirección, sin provocar ninguna sensación de inseguridad debido a ello. Sin embargo, cuando el mismo vehículo se adentra en una curva horizontal ocurre un fenómeno generalmente malinterpretado por los estudiosos del diseño de vías.

Para que el vehículo siga la trayectoria curva es necesario que se produzca una aceleración dirigida hacia el centro de la curva. Esta aceleración, denominada aceleración centrípeta (“hacia el centro”, literalmente), es el resultado del giro de los neumáticos del vehículo, que son los que transmiten la fuerza del motor. Es bueno aclarar que no se trata de una fuerza, sino de una aceleración, que también es un vector y que, como ya se dijo va dirigido hacia el centro de la curva, que vamos a suponer que es circular. Lo que sucede es que para los ocupantes del vehículo (que no conforman un cuerpo rígido con él), el cambio de trayectoria es percibido de manera diferente. Si la fricción entre los pantalones (o lo que sea que lleven puesto) y la silla del auto no es suficientemente grande, las personas tienden a seguir su recorrido en línea recta, por inercia diría Newton -de acuerdo a su Primera Ley-, hasta que sean detenidos por alguna parte del vehículo, como la puerta en el caso del conductor; esto es sentido como si existiera una fuerza que quisiera tirarnos hacia afuera de la curva y es lo que muchas personas llaman “fuerza centrífuga” (“hacia afuera del centro”), pero tal fuerza –en un marco de referencia inercial– no existe, es una “fuerza ficticia” y no debe ser incluida en los análisis que conllevan a los caĺculos del diseño geométrico.

Para aclarar un poco el asunto miremos esta gráfica de Newtonian Physics, un libro de física escrito por Benjamin Crowell que se puede descargar libremente (con licencia Creative Commons Share Alike) en el proyecto Ligth and Matter:


SENSACIÓN DE MOVIMIENTO HACIA AFUERA DE LA CURVA SEGÚN EL MARCO DE REFERENCIA.
Cuando se toma como referencia el auto que gira (marco de referencia no inercial), la bola de bolos parece violar las leyes de Newton porque aparentemente se acelera hacia afuera y esa aceleración no es el resultado de una fuerza de interacción con otro objeto.
En un marco de referencia inercial, como la superficie de la Tierra, la bola obedece la primera ley de Newton. Ninguna fuerza actúa sobre ella, por lo tanto continua moviéndose en línea recta. Es el vehículo quien está participando en una interacción con el asfalto y se ve sometido a una aceleración (la centrípeta), siguiendo la segunda ley de Newton.
Transición de la curvatura y la aceleración centrípeta

Recordemos estos dos conceptos que son esenciales para entender el uso de las curvas espirales de transición: curvatura y aceleración centrípeta.


TRANSICIÓN DE LA CURVATURA EN UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE DE RADIO RC

Curvatura: Se entiende como el inverso del radio de la curva circular. En recta la curvatura es cero porque el radio se hace infinito, mientras que para una curva de radio Rc se presenta una curvatura igual a 1/Rc. Cuando un vehículo llega a una curva circular simple experimenta una variación repentina de la curvatura, de cero a 1/Rc, en el punto de inicio de la curva (PC), que se mantiene igual a lo largo de toda la curva hasta que termina de nuevo intempestivamente en el PT.


TRANSICIÓN DE LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA EN UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE DE RADIO CONSTANTE RC

Aceleración centrípeta: La aceleración centrípeta es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del vehículo e inversamente proporcional al radio de la curva, entonces se tiene que . Cuando se ingresa en una curva también se presenta un cambio en la aceleración centrípeta, tanto en el PC como en el PT, pasando de una aceleración nula en recta a una definida como en la curva de radio Rc.


TRAYECTORIA NO CIRCULAR EN UNA CURVA CIRCULAR, NÓTESE LA TENDENCIA A INVADIR EL CARRIL CONTRARIO.

Volviendo a lo que veníamos, tenemos certeza de una cosa: cuando uno conduce el vehículo siente que se va a salir de la curva (especialmente si la velocidad que trae es más alta que la que permite la curva) y reacciona aplicando la dirección hacia adentro de la curva con mayor vigor, provocando que la trayectoria que sigue el auto no describa en realidad una curva circular, causando además una situación potencial de accidente porque invade el carril en el que circulan los vehículos en sentido contrario (en una carretera de dos carriles y dos sentidos). Para remediar esto se han venido utilizando curvas de transición entre la recta y la curva circular que apaciguan la sensación causada por la curvatura y por la aceleración centrípeta.

Estas curvas de transición deben cumplir un objetivo claro: La transición de la curvatura y la de la aceleración centrípeta debe ser constante a lo largo del desarrollo de la curva de transición. Es decir, el radio debe disminuir en una proporción constante a medida que se avanza en la curva, al tiempo que la aceleración centrípeta aumenta.


TRANSICIÓN DE LA CURVATURA EN UNA CURVA ESPIRAL DE TRANSICIÓN QUE ENLAZA UNA RECTA DE RADIO INFINITO CON UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE DE RADIO RC


TRANSICIÓN DE LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA EN UNA CURVA ESPIRAL DE TRANSICIÓN QUE ENLAZA UNA RECTA DE RADIO INFINITO CON UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE DE RADIO RC

Las anteriores gráficas muestran la transición gradual de la curvatura y la aceleración centrípeta entre el tramo recto (tangente) y la curva circular utilizando una curva de transición, tanto a la entrada como a la salida, como se observa en el esquema de la curva. Los puntos son: TE (Tangente – Espiral), EC (Espiral – Circular), CE (Circular – Espiral) y ET (Espiral – Tangente).


PUNTOS IMPORTANTES DE UNA CURVA ESPIRAL-CIRCULAR-ESPIRAL
Clotoide o Espiral de Euler

Llamemos a la longitud de la curva de transición y al radio de la curva circular en la que terminará. será la aceleración centrípeta como ya la habíamos definido y la velocidad de diseño de la vía (se supone que los vehículos circulan a esa velocidad).

Siguiendo el objetivo propuesto para la transición, la variación de la aceleración centrípeta por unidad de longitud está dada por:



Para un punto P dentro de la curva de transición, que está a una distancia desde el comienzo de la curva (punto TE), y al cual le corresponde un radio , la aceleración centrípeta es:



simplificando

Pero y son constantes, de manera que su producto se puede denominar , y obtenemos la ecuación de un clotoide, o espiral de Euler, donde K es el parámetro de la espiral:



En esta ecuación R es inversamente proporcional a L, es decir, el radio disminuye de manera proporcional al aumento de la longitud recorrida sobre la curva de transición (como se ve en la animación de abajo), que era exactamente lo que se buscaba, pues al disminuir el radio, crece la aceleración centrípeta también en forma gradual.


ESTA ANIMACIÓN MUESTRA COMO DISMINUYE EL RADIO A MEDIDA QUE AUMENTA LA LONGITUD DE UNA CURVA ESPIRAL. CRÉDITOS: MKWADEE EN WIKIMEDIA COMMONS
Elementos geométricos de la espiral

La curva espiral de transición se puede definir en función de los siguientes elementos:

x, y: Coordenadas rectangulares de un punto p (cualquier punto sobre la espiral), referidas a los ejes x e y, donde el eje x coincide con la tangente (la parte recta) y el eje y es perpendicular a ella. El origen de estas coordenadas es el punto TE para la espiral de entrada y el punto ET para la de salida, con dirección positiva hacia el PI -para el eje x– y hacia el centro de la curva (O) -para el eje y-.

θ: Ángulo de deflexión principal para el punto p (De nuevo, el punto p es un punto cualquiera sobre la curva y no debe ser confundido con el punto paramétrico, que es aquel en el que R=L). Éste ángulo se mide entre el alineamiento recto y una recta tangente a la espiral que pase por el punto p.

θe: Ángulo de deflexión principal de la espiral. También es el ángulo que se forma entre una línea perpendicular a la tangente en el punto TE (donde R=∞) y el radio de la curva circular (Rc).

θp: Ángulo paramétrico, es decir, la deflexión principal para el punto en el que R=L.

R: Radio correspondiente al punto p.

Rc: Radio de la curva circular simple que sigue a la espiral.

L: Longitud recorrida sobre la espiral desde el TE hasta el punto p.

dL: Sección infinitesimal de la curva espiral.

dθ: Elemento infinitesimal (diferencial) del ángulo de deflexión principal.

Suponiendo que en una sección infinitesimal la espiral se comporte como un arco circular se tiene (en este caso dθ está en radianes, por ende θ también está en radianes):



pero , es decir,

entonces

de donde , o lo que es igual , o también . Recordemos que .

Si queremos encontrar θ en grados sexagesimales, aplicamos los factores de conversión correspondientes:

y .

Introducción

Según el Manual de Diseño de Carreteras "el diseño geométrico es la parte más importante del proyecto de una carretera" y en efecto lo es porque para poder replantear la carretera, es decir, plasmarla en el terreno, primero se deben observar las condicionantes tales como la seguridad, la economía, el tipo de uso al cual va estar sometida la carretera, la comodidad, la estética, entre otros, todo esto para poder sacar el mayor provecho sin sacrificar aspectos muy importantes ya mencionados como la seguridad y la comodidad.
Desde el más grande detalle hasta el más mínimo aspecto de la vía debe estar pensado para la seguridad de los conductores, en pocas palabras es la seguridad la condición básica por la cual se rige el diseño geométrico de carreteras y esto se debe notar en la sencillez y uniformidad de los diseños.
Para hacer más segura una vía también debe estar pensada para la comodidad de los usuarios de los vehículos y la comodidad debe incrementarse de acuerdo con la mejora en el tiempo de uso, reduciendo las aceleraciones y desaceleraciones consecutivas, todo ello de acuerdo a la geometría de las curvas.
A continuación se mostrará un diseño geométrico de vías, el cual fue ideado para hacer más seguro el tránsito vehicular llamado curva espiral-circular-espiral, el cual consiste en llevar al vehículo desde un radio infinito hasta una curva circular pequeña y luego hasta un radio infinito nuevamente, lo cual evita que se presenten casos no deseados como lo son los deslumbramientos a causa de las luces delanteras de los vehículos y el cansancio visual y mental a causa del diseño poco interactivo y de la adopción de una posición corporal constante por parte del conductor.
OBJETIVOS
Objetivo general
• Replantear una curva simétrica espiral-circular-espiral en el campo
Objetivos específicos
• Determinar las deflexiones y los elementos de la curva espiralizada y probar el cierre geométrico en el campo.
• Afianzar los conocimientos del bosquejo de una vía con el diseño geométrico espiral-circular-espiral y medir el error lineal y angular del cierre.

Justificación

Anteriormente para realizar una carretera se tomaba como base un diseño circular y hasta el momento cumplía con los requerimientos para ser utilizada, pero con el tiempo fueron surgiendo varios tipos de problemas que eran corregidos con señalizaciones, pero esto no fue suficiente así que se tuvo que cambiar radicalmente el sistema, comenzando por el diseño, y se encontró que existía un tipo de diseño que podía suplir las necesidades y problemas que tenía el anterior diseño.
El replanteo de este diseño geométrico se realiza con el fin de estudiar cómo se traza una curva espiralizada tomando en nuestro caso distancias de 10m para emular la curva ya que no es posible dibujar fácilmente un segmento curvilíneo perfecto.

Equipos y accesorios

• Teodolito: con este aparato se pueden medir ángulos horizontales y verticales y para prolongar alineaciones. El teodolito lleva un telescopio capaz de girar alrededor de un eje vertical y de otro horizontal y está acoplado a un trípode. En nuestro caso se trabajó con un teodolito con precisión de hasta 0º0´5´´.
• Cinta métrica: sirve para medir distancias, para nuestro caso el máximo alcance fue de 30m.
• Piquetes: son barras delgadas de acero puntiagudas de aprox 30cm las cuales sirven como marcas.
• Jalón: son barras de acero gruesas de aprox 1.8m las cuales sirven para alinear o para marcar puntos a la distancia
• Plomada: tiene forma de cono y está hecha de plomo. Sirve para marcar con mayor precisión la proyección vertical de un punto.
Accesorios suplementarios
• Mazo
• Estacas de madera
• Sombrilla
• Machete
• Puntillas
PROCEDIMIENTO DE OFICINA

CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CURVA ESPIRALIZADA

PARAMETRO DE LA ESPIRAL: K

COORDENADAS PARA EL PUNTO EC (Xc, Yc)

COORDENADAS CARTESIANAS PARA EL PUNTO PC (p, k)

TANGENTE DE LA CURVA ESPIRALIZADA (Te)

EXTERNA DE LA CURVA ESPIRALIZADA (Ee)

TANGENTE LARGA (TL) Y TANGENTE CORTA (Tc)

CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL (Cle)


• 1) ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR
C=10 m
R=113 m

CUERDA LARGA (CL)

• 2) ABSCISAS DE LA CURVA ESPIRALIZADA
Absc TE = Absc PI - Te
= K1+ 078 - 55,755
Absc TE = K1+022,245
Absc EC = Absc TE + Le
= K1+022,245 + 50
Absc EC = K1+072,245
Absc CE = Absc EC + Lc
= K1+072,245 + 9,668
Absc CE = K1+081,913
Absc ET = Absc CE + Le
= K1+081,913 + 50
Absc ET = K1+131,913
• 3) CALCULO DE LAS DEFLEXIONES DE LA CURVA ESPIRALIZADA

NOTA 1:
Las deflexiones para la curva circular simple no fueron necesarias calcularlas, pues la longitud de la curva (Lc) de 9.668 m fue menor que la longitud de la cuerda (C) que es de10m, presentándose una curva casi espiral- espiral.
Transición del Peralte para una Curva Espiralizada
Pendiente longitudinal: 0%
Peralte (e): 8%
Ancho de la calzada: 7m
Bombeo normal (B.N): 2%
Pendiente máxima (m): 0,64%
Transición del tramo recto: 70%

ABSCISAS DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
Abs TE = Abs B= k1+022,245
Abs D= Abs B+0,7Lt= 1022,245 + (0,7*50)= K1+0557,245
Abs A= Abs B-N=1022,245-11,406= K1+010,839
Abs C= Abs B+N= 1022,245+11,406= K1+033,651
Abs E= Abs D+0,3Lt= 1057,245+ (0,3*50)= K1+072,24
ABSCISA ESPIRAL DE SALIDA
Abs ET = Abs I= k1+131,913
Abs G= Abs I - 0,7Lt= 1131,913- (0,7*50)= K1+096,913
Abs J= Abs I + N= 1131,913+11,406= K1+143,319
Abs H= Abs I - N= 1131,913 - 11,406= K1+120,507
Abs F= Abs G - 0,3Lt= 1096,913 - (0,3*50)= K1+081,913
COTAS ESPIRAL DE ENTRADA
NOTA 2: Asumimos una cota de 150 para el punto B de transición del peralte.

COTAS ESPIRAL DE SALIDA
NOTA 3: Al tomar una pendiente longitudinal del 0% las cotas para la espiral de salida van a ser las mismas de la espiral de entrada.


Cuestionario

• 1. ¿En qué consiste el retranqueo de una curva circular simple?
De la figura se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separándola una distancia Ye en el punto donde estas se empalman (EC y CE) y una distancia p, en el punto PC, a esto se le conoce como disloque o retranqueo.

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transición por lo que se podría prescindir de estas. Un valor alto indica que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transición.
• 2. ¿A que se debe la variación del valor de la externa y de la ordenada media cuando se varía el valor del delta?
DISMINUCION Y AUMENTO DEL DELTA
• CUANDO SE DISMINUYE

• CUANDO SE AUMENTA EL DELTA

A partir de los cálculos anteriores podemos decir que a medida que el delta "?" de la espiral aumenta los valores de la externa y la ordenada media de la curva circular también aumentan y sus valores difieren el uno del otro; mientras que cuando el delta de la espiral disminuye el valor de la externa y la ordenada de media de la curva circular también lo hacen y sus valores son muy cercanos, además a medida que se disminuye el delta, también se disminuye la curva circular y por ende la curva trata de ser espiral-espiral.
• 3. ¿En una curva espiralizada, donde se transita el peralte?
Para terrenos ondulado, montañoso y escarpado la transición del peralte corresponde a la longitud de la espiral (Le=L) más la distancia de aplanamiento (N).
Para terrenos planos, con uso de espirales cuyo radio y longitud sea alto, la longitud de la espiral puede incluir las dos longitudes de transición total (Le=L+N).
¿Dónde se transita el peralte en una curva circular?
En curvas circulares sin espirales se pueden presentar dos posibilidades:
• 1. cuando hay suficiente entretangencia, la transición de peralte se debe desarrollar en la tangente.
• 2. cuando no hay suficiente espacio en las tangentes entre curvas, se debe realizar la transición una parte en la tangente y el resto dentro de la curva. Para el segundo caso, el peralte en el PC y/o en el PT debe estar entre el sesenta y el ochenta por ciento (60%-80%) del peralte total, siempre que por lo menos la tercera parte de la longitud de la curva quede con peralte total.
• 4. ¿Cuáles son las ventajas que tiene la curva espiralizada sobre una curva circular simple?
En un diseño donde se utilizan elementos geométricos rígidos como los arcos circulares, cualquier móvil que entre en una curva horizontal o salga de la misma, experimenta un cambio brusco debido al incremento o disminución de la fuerza centrifuga, que se efectúa en forma instantánea, lo que produce incomodidad en el usuario. El conductor sigue generalmente un camino conveniente de transición, lo que puede originar la ocupación de una parte del carril adyacente, cuando se inicia el recorrido de la curva, lo que representa un peligro si el carril aledaño es para transito de sentido contrario.
Al contrario de las curvas circulares simples, las curvas de transición, suavizan las discontinuidades de la curvatura y el peralte. Se evita con ellas, por tanto, un cambio brusco de la aceleración radial, y en el control de la dirección del vehiculo, y se dispone de longitudes suficientes, que permiten establecer un peralte y un sobreancho adecuado, modificar el ancho de la calzada y realizar la estética de la vía.
• 5. ¿Cuándo no debe diseñarse una curva espiralizada?
El diseñador debe omitir la espiral de transición, independientemente de la categoría de la carretera y la velocidad especifica de la curva horizontal (VCH), solo cuando el radio de la curva horizontal sea superior a mil metros (1000m).

Análisis de resultados

La curva trabajada en campo presenta una operación gradual balanceada, traducida en seguridad para los usuarios, y al mismo tiempo, nos muestracomo los vehículos cambian lentamente la dirección acorde a la curvatura, y la calzada se inclina transversalmente en forma uniforme siguiendo los peraltes y ampliaciones requeridas.
De los cálculos realizados anteriormente podemos decir:
La longitud de la espiral es de 50m mientras que la longitud de la curva circular es de 9.668m por lo que la entrada a la curva circular es mas suave, es decir la gravedad centrifuga es muy baja.
Al chequear algunas medidas en campo, encontramos que se produjeron errores que se pudieron presentar por la aproximación de los ángulos de las deflexiones o por las medidas erróneas de las subcuerdas correspondientes a cada una de estas; al chequear la externa se presento un error por exceso de 0.005m, el error en la medición de la tangente corta desde el EC hasta el PIe fue de 0.075m por exceso y la tangente corta medida desde el CE hasta el PIe fue de 0.075m por defecto, la longitud de la curva circular presento un error de 0.228m; de acuerdo a todo lo dicho anteriormente podemos decir que el replanteo de la curva de transición fue bastante precisa.
Al realizar lo cálculos para la transición del peralte pudimos establecer, que la longitud de transición (Lt) es igual a la longitud de la espiral (Le), el bombeo normal fue de 2% y la longitud de aplanamiento de 11.406 para un ancho de calzada de 7.30 m, una transición del tramo recto de 70% y un peralte máximo de 8%; con todo esto se garantiza la comodidad en la marcha de los vehículos y la adecuada apariencia de la carretera.

VIDEOhttps://www.youtube.com/watch?v=Rv5JctZ0fUc